LES POLYNÔMES

Rappel

Effectuez : 

1.  3 x² - 2 x + 4 - 6 x² + 9 x - 5 + x²

2.   - b² + 4 b² - b² + 5 b² + 3 b² - 7 b²

Motivation

Comment s'appelle une somme algébrique de plusieurs monômes ?

Annonce du Sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Analyse

Qu'est-ce qu'un polynôme ?

Comment peut-on réduire un polynôme ?

Quels sont les polynômes particuliers ?

Citez particulièrement les sortes de polynômes.

Quand un polynôme est complet ? 

Parlez du polynôme homogène ?

Parlez des polynômes égaux ?

Synthèse

Réduire les termes semblables dans les polynômes : 

x³ + 3 x² - 2 x + 1 - 5 x + 1 - 7 x² + 4 x³ - 10 - 2 x + 9 x³ - 8 + x² - x.

1.  3 x² - 2 x + 4 - 6 x² + 9 x - 5 + x²

2.   - b² + 4 b² - b² + 5 b² + 3 b² - 7 b²

• 3 x² - 6 x² + x² - 2 x + 9 x + 4 - 5
• 2 b²

Une somme algébrique de plusieurs monômes s'appelle polynômes.

Aujourd'hui, nous allons étudier les polynômes.

Analyse

Définition

Un polynôme est une somme algébrique de plusieurs monômes.

P (x) = 2 x² + x - 1 + 3 x³

Réduction d'un polynôme

Un polynôme est réduit s'il ne contient pas de monômes semblables ;

3 x²- 2 x + 4 a b + 6

Réduire un polynôme, c'est remplacer les monômes semblables par leur somme.

P (x) = - 2 x² + 3 x - 3 + 4 x + 6 x - 9 x²

            + 4 x + 7

= - 11 x² + 17 x + 4

Polynômes particuliers 

Si après réduction, un polynôme a un, deux, trois ou quatre termes, on l'appelle : 

Monôme a² b

Binôme 2 x² + 4

Trinôme 6 a b + 3 x - 4 b

Quadrinôme a³ + 2 a² - 3 a + 2  

Degré d'un polynôme

Degré d'un polynôme par rapport à une lettre

Sortes de polynômes

Polynôme ordonné

Ordonnons le polynôme 3 a² b² x³ - 6 a³ b⁵ x + a² b⁴ x² - 4 a b³ + 5 b x⁴

Par rapport aux puissances décroissantes de x on a : 

5 b x⁴ + 3 a⁴ b² x³ + a² b⁴ x² - 6 a³ b⁵ x - 4 a b³

Par rapport aux puissances de b.

5 b x⁴ + 3 a⁴ b² x³ - 4 a b³ + a² b⁴ x² - 6 a³ b⁵ x

Polynôme complet

Le polynôme complet x⁵- 2 x⁴ + 3 x³ - 5 x² + 6 x - 8 est un polynôme complet du 5ème degré en x.

Polynôme homogène

Dans le polynôme a³ b - 3 a² b² + b⁴ tous les termes sont des monômes de même degré (4ème degré) par rapport à a et b.

Polynômes égaux

Deux polynômes réduits à une variable, sont égaux lorsque les coefficients des termes de même degré sont égaux.

(a -1) x² + 5 x + 6 et 3 x² + (2 b - 3) x + 8 + C sont égaux on a : 

a - 1 = 3,  2 b - 3 = 5,  8 + C = 6.

Réduire les termes semblables dans les polynômes : 

x³ + 3 x² - 2 x + 1 - 5 x + 1 - 7 x² + 4 x³ - 10 - 2 x + 9 x³ - 8 + x² - x.

a x³ + 4 x³ + 3 x² - 7 x² + x² - 2 x -  5 x - 2 x - x + 1 + 1 - 10 - 8

17 x³ - 8 x² - 8 x - 16