Angle de deux directeurs

Rappel

Calculez l’angle formé par OX et la direction de coefficient angulaire 3. Si les axes forment un angle de 60° ?

Rappel

m = 3     \(tg ɤ = \frac{3 sin⁡ 60°}{1+3cos60°}=\frac{3\frac{\sqrt[]{3}}{2}}{1+\frac{1}{2}}\\ =\frac{3\sqrt[]{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{3\sqrt[]{3}}{2}.\frac{2}{3}=\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\)

Motivation

Que représentent OZ₂ et OZ₁ ?

Motivation

OZ₁ et OZ₂ sont les deux directions des angles ɤ ₁ et ɤ ₂.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les angles de deux directions.

Que représentent V, ɤ ₁ et ɤ ₂ ?

Angle de deux directions

V = ɤ ₂-ɤ ₁ est l’angle formé par les deux directions,

ɤ ₁ = l’angle formé par la direction OZ₁ et l’axe OX.

ɤ ₂ = l’angle formé par la direction OZ₂ et l’axe OX.

Trouvons V ; on soit que tg (a-b) = \(\frac{tga-tb}{1+tgatgb}\)

Comme V = ɤ ₂-ɤ ₁, on a

tg V = tg (ɤ ₂-ɤ ₁)

\(=\frac{tgɤ_2-tgɤ_1}{1+tgɤ_2 tgɤ_1} or \\ tgɤ=\frac{msinθ}{1+mcosθ}\\ =\frac{\frac{m_2 sinθ}{1+m_2 sinθ}-\frac{m_1 sinθ}{1+m_1 cosθ}}{1+(\frac{m_2 sinθ}{1+m_2 cosθ})(\frac{m_1 sinθ}{1+m_1 cosθ})}\)

Après transformation, on a :

Si θ = π/2

Calculez l’angle formé par la direction de coefficients angulaires respectifs \(\frac{4}{5}\) et -1/5.

Si θ  = 60°

\(tg V=\frac{(-\frac{1}{2}-\frac{4}{5})sin60°}{1+(\frac{1}{5}.\frac{4}{5})+(-\frac{1}{5}+\frac{4}{5})cos60°}\\ \)

\(=\frac{\frac{-\sqrt[]{3}}{2}}{1-\frac{4}{2}+\frac{3}{5}.\frac{1}{2}}=\frac{\frac{-\sqrt[]{3}}{2}}{1-\frac{4}{25}+\frac{3}{10}}\\ \)

\(=\frac{\frac{-sqrt[]{3}}{2}}{\frac{50-8+15}{20}}=\frac{-sqrt[]{3}}{2}.\frac{47}{50}=\frac{-47\sqrt[]{3}}{100}\)

Calculez l’angle formé par la direction de coefficients angulaires respectifs \(\frac{4}{5}\) et -1/5.

Si θ  = 90°

\( tg V=\frac{\frac{-1}{5}-\frac{4}{5}}{1+(\frac{-1}{5}-\frac{4}{5})}=\frac{-1}{1-\frac{4}{5}}=\frac{-1}{\frac{1}{5}}=1.\frac{5}{1}=-5\)