Rappel
Résoudre dans IR, l’équation suivante :
log(x+1)+colog3 = log (2x -3) + log7
Rappel
X+1
X ˃ -1
] -1, +∞ [
] 3/2, +∞ [
\(log\frac{(x+1)}{3}=log(27-3)\)
\(\frac{x+1}{3}=14x -21\)
X+1 = 42x-63
-41x = -64
X = 64/41
S = {64/41}
Motivation
Qu’appelle-t-on une équation logarithmique ?
Motivation
Est une équation dans laquelle l’inconnue est dans l’expression des logarithmes.
Comment appelle-t-on les équations où l’inconnue est dans l’exposant ?
L’équation où l’inconnue est dans l’exposant est appelée équation exponentielle.
Annonce du sujet
Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?
Annonce du sujet
Aujourd’hui nous allons étudier les équations logarithmiques.
Qu’est-ce qu’une équation exponentielle ?
Equations Exponentielles
a. Définition : une équation exponentielle est une équation dans laquelle l’inconnue intervient en exposant.
Comment peut-t-on résoudre une équation exponentielle ?
b. Résolution
La résolution d’une équation exponentielle se résume dans l’un de cas suivants :
Exemple :
X²-3x+2x-2 = 0
X²-x-2 = 0
∆ = (-1)²-4(1)(-2)
= 9
\(\sqrt[]{∆}= ±\sqrt[]{9}\)
= ± 3
S = {-1, 2}
\(2. a^{u(x)} = b, b ϵ IR+ ==˃ log_a a^{u(x)} = log_a b\)
\(U(x) log_a a = log_a b\)
| \(U(x) = log_a b\) |
Exemple : résoudre dans IR, l’équation suivante :
\(2^x = 5 ==˃ log_2 2^x = log_2 5\)
\(==˃ x^2 log_2 2 = log_2 5\)
| \(X = log_2 5\) |
3. Autres types d’équations
Ce sont des équations qui, après transformation se ramènent à un de cas précédent.
Exemples: \(5^{x+1}+2.5^{-x} = 7\)
Posons t= 5x
5t + 2/t = 7
5t²-7t+2 = 0
∆=49 – 5(5)(2)
= 49 -40
= 9
\(\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{9} \)
= ±3
Pour t = 1 pour t = 2/5
1=5x 5x=2/5
\(log_5 1 = log_5 5x\) \(log_5 5^x =log_5 2/5\)
\( xlog_5 5 = log_5 1\) \(xlog_5 5 = log_5 2/5\)
x = 0 \(x = log 2/5\)
S= { 0, log2/5 }
Résoudre dans IR, les équations suivantes :
\(a. 4^{x+1}+31.2^{x-1}= 2\)
\(\left\{ \begin{array}{rcr} 5^{3x} & = & 25^{y-1} \\ 9^y & = & 3^{x+1} \\ \end{array} \right.\)
\(c. 3^{x^2-3x+5}= 27\)
\(d. 3^x= \sqrt[3]{9}\)
Posons b = 2x
8b²+31b-4 = 0
∆ = (31)²- 4 (8).(-4)
= 961+128
= 1089
= ±33
à rejeter
\(2^x = 1/8 ==˃ 2^x= \frac{1}{2^3}==˃ 2^x = 2^{-3} ==˃ x = -3\)
Résoudre dans IR, l’équation suivante :
\(2^{4x}-6.2^{3x}+6.2^x-1= 0\)
\(8^{2x}-3.8^x= 4\)
\(6^x+\frac{1}{6^x}-2=0\)
Posons t=2x
\(t^4-6t^3+6t-1 = 0\)
\((t^4-1)+(-6t^3+6t)= 0\)
\((t^4-1)-6t(t^2-1)= 0\)
\((t²-1)( t²+1)-6t(t²-1) = 0\)
\((t²-1)( t²+1-6t) = 0\)
\((t²-1)( t²-6t+1) = 0\)
\((t-1)( t+1)( t²-6t+1) = 0\)
\(t=1 t= -1\)
\(∆= 36-4(1).(1) = 32 \)
\(\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{32} = ±2\sqrt[]{2}\)
