Inclusion et égalité

Rappel

Définir en extension

a) {x ∊ IN : x = 3y, y ∊ IN, 3 ≤  y < 7}

b) {x ∊ ∣ x ∣ ; 4x + 1 ≤ 7}

Rappel

a) {x ∊ IN : x = 3y, y ∊ IN, 3 ≤  y < 7}

b) {x ∊ ∣ x ∣ ; 4x + 1 ≤ 7}

Définir en extension

3; 4; 5 ⟹ x = 3.3 = 9

                x = 3.4 = 12

                x = 3.5 = 15

a) A = {9; 12; 15}

b) B = { 0,1 }

Motivation

Considérons les ensembles

A = {1,2,3,4} et B = {0,1,2,3,4,5}

Que constatons-nous de ces deux ensembles ?

Que pouvons-nous dire de A par rapport à B ?

Motivation

A = {1,2,3,4} ; B = {0,1,2,3,4,5}

Nous constatons que tout élément de A est aussi élément de B. A est un sous-ensemble de B.

Annonce du sujet

Aujourd'hui, nous allons étudier l'inclusion des ensembles.

Annonce du sujet

Aujourd'hui, nous allons étudier l'inclusion des ensembles.

Qu'appelle-t-on inclusion de deux ensembles ?

Définition

Soit A et B deux ensembles

A est un sous-ensemble de B si tous les éléments de A sont aussi éléments de B.

On écrit : A ⊂ B

On lit : E est inclus dans F ou

           E est un sous-ensemble de F ou

           E est une partie de F

           E est contenue dans F

( E ⊂ F ) ⇔ (∀x,x ∊ E ⟹ x ∊ F)

⊂ :  est le symbole d'inclusion

Représentation

N.B: A n'est pas un sous-ensemble de B ssi il existe au moins un élément de A qui n'est pas élément de B. et on écrit A  ⊄  B.

- E ⊂ F s'écrit encore  F ⊃ E et se lit F contient E

  E ⊄  F s'écrit encore F ⊅ E et se lit F ne contient pas E

Qu'est-ce que l'inclusion de deux ensembles A et B ?

Un ensemble A est inclus dans un ensemble B ssi  tout élément de A et aussi élément de B.