Insertion de n moyen arithmétique

a. Rappel

Déterminez la somme des 15 premiers termes de la P.A 8,\( \frac{19}{3},\frac{14}{3},3, \frac{4}{3},...\)

a. Rappel

t₁=8

r=\(\frac{19}{3}-8=\frac{19-24}{3}=-\frac{5}{3}\)                            \(\frac{15}{2}(16-\frac{70}{3})=-\frac{330}{6}\)

Sn=\(\frac{n}{2}(2t_1+(n-1)r)\)                         \(\frac{15}{2}(\frac{48-70}{3}\)

\(=\frac{15}{2}(2.8(15-1)-\frac{5}{3}\)                               \(=\frac{15}{2}.(\frac{-22}{3}\)

Calculez la somme suivante: 

21+17+13+....+(-11) ?

t₁=21      tn=t₁+(n-1)r         \(n=\frac{-36}{-4}=9\)

r=-4        -11=21+(n-1)-4

tn=-11     -11=2.1.4n+4

               -11-25=-4n

\(Sn=n.\frac{t_1+t_n}{2}=8.\frac{21-11}{2}=\frac{90}{2}=45\)

b. Motivation 

Soit l'intervalle suivant [-1,4].

Déterminez en extension cet intervalle ?

b. Motivation

[-1,4]={-1,0,1,2,3,4}.

Que peut-on dire de -1 et 4, et 0,1,2,3 se trouvant ces éléments ?

-1 est le premier terme et 4 le dernier terme.

0,1,2,3 sont les termes d'insertion n moyen arithmétique.

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier l'insertion de n moyen arithmétique.

Que signifier insérer n moyen arithmétique entre deux nombres données a et b ?

INSERTION DE n MOYEN ARITHMETIQUE

Insérer n moyen arithmétique entre deux nombres donnés a et b signifie former une P.A de n+2 terme dont a est le premier terme et b le dernier.

Comment peut-on alors insérer n moyen arithmétique entre deux termes ?

Pour insérer n moyen arithmétique entre a et b, il faut connaitre sa raison r.

Soit : a , ......n termes .......b     a est le 1er terme et b le (n+2)².

on sait que tn=t₁+(n-1)r

tn_a=a+(n+1)r et tn_b=a+(n+2)-1 I r.

b.a=(n+1)r.

r=\(\frac{b-a}{n+1}\)

Exemple: insérer 4 moyens arithmétiques entre -3 et 12.

r=\(\frac{b-a}{n+1}=\frac{12+3}{4+1}=3\)

Quelle est la formule de n terme d'une P.A ?

La P.A est -3,0,3,6,9,12

NB: Quant un seul moyen arithmétique doit-être placé entre deux nombres, il est appelé la moyenne  arithmétique entre ces deux nombres.

Quant est-ce que un moyen arithmétique est appelé moyenne arithmétique ? 

Dans ce cas n=1.

\(r=\frac{b-a}{1+1}=\frac{b-a}{2}.\)    ce nombre a+\(\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}\)

D'où la moyenne arithmétique est définie par b=\(\frac{a+c}{2}\)

Exemple: prouver que 1,10,19 forme une P.A. \(10=\frac{1+19}{2}.\)

10=10.

Que signifie insérer n moyen arithmétique entre deux nombres donné a et b ?

C'est formé une P.A de n+2 termes dont a est le premier et b le dernier.

Quelle est la formule qui nous permet de calculer le problème d'insertion de n moyen arithmétique ?

r=\(\frac{b-a}{n+1}\)

a. Application

Que signifier insérer n moyen arithmétique entre deux nombre donnés ?

a. Application

C'est formé une P.A de n+2 termes dont a est le premier et b le dernier.

r=\(\frac{7,3-14,8}{6}=1,25.\)

Insérez: 

a. 5 moyens arithmétiques entre 14,8 et 7, 3.

P.A. 14, 8⁶: 13,55; 12,3; 11,05; 9,8; 8,55; 7,3.

b. 8 moyen arithmétique entre -2 et 1/4

r=\(\frac{1}{4}, P.A: -2, -7/4, -3/2, -5/4, -1, -3/4, -1/2, -1/4,0,1/4.\)

c. 10 moyen arithmétique entre \(\frac{23}{3} et 26.\)

r=\(\frac{5}{3} P.A: \frac{23}{3}, \frac{28}{3}, 11, 38/3,43/3,48/3,53/3,21, 68/3, 73/3; 26.\)

Insérez 9 moyens arithmétique entre \(\frac{1}{3} et \frac{13}{12}\)

r=\(\frac{3}{40} P.A:\frac{1}{3}, \frac{49}{120}, \frac{29}{60}, 67/120, 19/30, 17/24, 47/60, 103/120, 14/15, 121/120, 13/12.\)