Equation normale de hesse

a. Rappel

Une droite coupe successivement ox et oy en (-3,O) et (0,5).

Déterminez l'équation de la droite passant par ces 2 points ?

a. Rappel

b. Motivation

Que donne la projection d'une droite sur l'axe ox dans la figure mis au tableau ?

b. Motivation

La projection de la droite donne cos∝

De quelle formule s'agit-elle : xcos∝+y cos β-t=0 ?

xcos∝+ycos β-t=0 est une formule de l'équation normale de Hesse.

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier l'équation normale de Hesse.

EQUATION NORMALE DE HESSE

Soit M(X₁,Y₁) un point quelconque.

S= la distance séparent le point M(X₁,Y₁) à la droite (d)

∝= l'angle formé par ox et og

e= l'angle formé par oz et oy

ϴ=l'angle du système ϴ=∝+e

t= la distance de la droite à l'origine

(d)= la droite est Ʇ à la direction OZ.

Traçons Q ∩ Ʇ AR. Les contours OR et RM des coordonnées de M pour avoir:

Les projections hortogonales de ces vecteurs sur OZ donnent :

t+0+S=x₁ cos∝+y₁ cos β.

S=x₁ cos∝ + y₁ cos e

Supposons que le point ∩ est sur la droite (d) pour avoir S=0

X₁ cos ∝ + y₁ cos e- t=0

D'où pour tous les points de la droite on a :

X cos ∝ + y cos e-t=0

Equation normale de Hesse

si ϴ =\(\frac{π}{2}-β, cos β=sin∝\)

X cos∝+sin∝-t=0

Quelle est la formule générale de l'équation normale de Hesse ?

Xcos∝ + ycos e-t=0

X cos∝ + y sin ∝-t=0

Déterminez l'équation d'une droite si la perpendiculaire menée par celle-ci de l'origine vaut 4 et cette dernière forme un angle de 60° avec OX dans un système rectangulaire ?

Données                 Inconnues                   Formule

t=4                          Eq. de Hesse

∝=60°

ϴ=90°

ϴ=∝+e

e=ϴ-∝=30°

                         Solution

Xcos 60°+ycos30°-4=0

X\(\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}-4=0\)

X+Y-8=0