| Domaine | Science | Sous domaine | Mathématiques |
| Section | Scientifique | Option | Biologie Chimie |
| Discipline | Mathématique | Classe | 6ème |
| Matériel didactique | Latte | Auteur | SCHOOLAP.COM |
| Objectif opérationnel | A l’issue de la leçon, l’élève sera capable de déterminer les racines d’un nombre complexe à l’aide des formules en 5 minutes. | ||
| Réference | Maitriser les math 6.1.p. | ||
Activité initiale |
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Activité principale |
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Comment peut-on trouver la racine carrée dans C ? |
Racine carrée dans C Soit un nombre complexe Z= a+bi, trouvons la racine carrée de ce nombre complexe ayant la forme x+yi \((a+bi)=(x+yi)² \\ a+bi=x^2+2xyi-y² \) \(\left\{ \begin{array}{rcr} a=x^2-y^2 =>a^2 & = & (x^2-y^2 )^2 (1) \\ b=2xy => b^2 & = & (2xy)^2 (2) \\ \end{array} \right.\) Additionnons membre par membre : \(a^2+b^2=(x^2-y^2 )^2+(2xy)² \\ a^2+b^2=x^x-2x²y²+y^4+4x²y²\\ a^2+b^2=x^4+2x^2 y^2+y^4 \\ a^2+b^2=(x^2+y^2)² \\ (x^2+y^2 )^2=a^2+b² \\ x^2+y^2=√(a^2+b²) (3) \) Formons un système d’équation à partir de l’équation (1) et (3) \(a^2=(x^2-y^2 )^2\) \(x^2-y^2=\sqrt[]{a²} \) \(\sqrt[]{a^2+b²}=x^2+y^2=>x^2+y^2= \sqrt[]{a^2+y²}\\ =>x^2-y^2=a\\ x^2+y^2=\sqrt[]{a^2+b²}\\ -x^2+y^2=-a\\ x^2+y^2=\sqrt[]{a^2+b²}\\ 2y^2=-a+\sqrt[]{a^2+b²}\\ y=±\sqrt[]{\frac{-a+\sqrt[]{a^2+b²}}{2}}\\ x^2-y^2=a\\ x^2+y^2=\sqrt[]{a^2+b²}\\ 2x^2=a+\sqrt[]{a^2+b²}\\ x^2=\frac{a+\sqrt[]{a^2+b²}}{2}\\ x=±\sqrt[]{\frac{a+\sqrt[]{a^2+b²}}{2}} \) |
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Synthèse |
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Exemples Calculez les racines carrées des complexes suivants : Z= 3+ui |
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calculez les racines carrées de Z= 8-6i |
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