Inéquation exponentielle.

Rappel

Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :

\(log_{1/2}⁡ x< log_{1/4}⁡ (3x-2)\)

Rappel

S =] 0, +∞ [

S =] 2/3, +∞ [

S₀ = ] 0, +∞ [ U ] 2/3, +∞ [ = ] 2/3, +∞ [

\(log_{1/2}⁡x<log_(\frac{1}{2})⁡ (3x-2)\\ 2log_{1/2}⁡x<log_{1/2}⁡ (3x-2)\\ X²-3x+2 < 0 \)

∆ = ± 1

S =] 1, 2 [

               S₁ = ] 2/3, +∞ [ ∩ ] 1, 2 [

Motivation

Que représente (1/2) x²-2x-3 ≤  1 ?

Motivation

\((\frac{1}{2})^{x^2-2x-3} ≤1\)  représente une inéquation exponentielle.

Quelle est la base dans cette inéquation ?

La base est ½.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les inéquations exponentielles.

Quelle faut-il retenir pour résoudre une inéquation exponentielle ?

Inéquations exponentielles

Pour résoudre une inéquation exponentielle, on tiendra compte de la base a.

\(* si a ˃ 1, ∀x,y∈IR. x ≤y<=> a^x ≤ a^y \\ * si a < x < 1, ∀x,y ∈IR x ≤y<=>a^x≥ a^y \)

Exemple : Résoudre dans IR, l’inéquation exponentielle suivante :

\((1⁄2)^{x^2+2x-3}≤1 \\ (1⁄2)^{x^2-2x-3} ≤(1⁄2)°\\ X²-2x-3 ≥ 0\\ ∆ = 4- (4).1. (-3)\\ = 4+12\\ = 16\\ \sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{16}\\ = ±4 \)

S = ] -∞, -3] U [ 1, +∞ [

Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :  \(\sqrt[]{x} ?\\ 3 ≥ 243 \)

c.p :

x ≥ 0

S =] 0, +∞ [

\(3^\sqrt[]{x}=3^5 \\ (\sqrt[]{x}) ² ≥ (5)²\\ X ≥ 25\\ S = [25, +∞ [\\ S = S1∩S2 =] 0, + ∞ [U [25, +∞ [\\ = [25, +∞ [ \)

Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :

\(2^{x^2-2x}≤ (\frac{1}{2})^{2x-2}\)

\(2^{x^2-2x}≤2^{-1(2x-2)} \\ 2^{x^2-2x}≤2^{-2x+2} \\ X²-2x ≤ -2x+2\\ X²-2x+2x-2 ≤ 0 \)

X²-2 ≤ 0

X² ≤ 2

\(x≤ ±\sqrt[]{2}\)

\(S = [-\sqrt[]{2},\sqrt[]{2} ]\)