Limite à gauche et limites à droite d’une fonction

Rappel

Calculez:

Rappel

\(lim_{x →1} \frac{1+1}{\sqrt[]{1^2}}= lim_{x →1} \frac{2}{\sqrt[]{1^2}} = \frac{2}{1} = 1\)

Motivation

Comment peut-on lire cette équation ?

\(lim_{x →a_<} f(x) \\ et \\ lim_{x →a_>} f(x) ?\)

Motivation

On lit : \(lim_{x →a_<} f(x) : \)  la limite à gauche et la limite à droite.

Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier la limite à gauche et à droite d’une fonction.

Quand-est-ce que la limite de x est à gauche ?

LA LIMITE A GAUCHE ET A DROITE D’UNE FONCTION

Soit x une variable et a ∈ R,

On dit que a est la limite de x à gauche lorsque les valeurs prises par x sont< à a

On écrit : \(lim_{x →a_<} f(x) \\ ou \\ lim_{x→a^- } f(x) \)

Exemple : x = 1,99 ; 1, 999 ; 1, 999…

\(lim_{x →2_<} \)

Quand-est-ce que la limite de x est à droit ?

On dit que a est la limite de x à droite lorsque les valeurs prises par x sont > à a

On écrit : \(lim_{x →a_<} \\ ou \\ lim_{x→a^+ } f(x) \)

Exemple : x = 2, 01 ; 2, 001 ; 2, 0001.

\(lim_{x →2_<}\)

REMARQUE:

Si \(lim_{a^-} f(x) ≠ lim_{a^+}\), alors \(lim_{x →a} f(x)\)  n’existe pas. On parlera d’une limite à gauche et à droite.

Pour que la limite de la fonction f de x tend vers a existe, il faut et il suffit qui \(lim_{a^- } f(x) = lim_{a^+} f(x) = lim_a f(x) \)

Calculez la limite à gauche et à droite des fonctions suivantes :

\(a. lim_{-5} \frac{x+7}{x+5}\\ b. lim_{-2} \frac{x^2- 5x+6}{(x+2)^2 }\\ c. lim_{-2} \frac{1}{x^2+4x-4}\\ d. lim_{-5} \frac{x+4}{x-2}\)

x + 7 = 0       x + 5 = 0

x = - 7           x = - 7

\(lim_{x→ -5_<} \frac{x+7}{x+5} = - ∞\\ lim_{x →-5_>} \frac{x+7}{x+5} = + ∞\)

Déterminez la limite à gauche et à droite de la fonction ci-dessous :

\(lim_{x→5} \frac{(x^2-5x+6}{(x-5)}\)