Propriété de la dérivée seconde : sens de la Concavité et le point d’inflexion

Rappel

Déterminer les extrema de y = 2x³  + 3x² – 12x – 5 =

Rappel

y’’ = 6x² – 6x – 12

y = 0 ↔ 6x² – 6x – 12 = 0

∆ = 36 – 4.6. (-12)

= 36 + 288

\(\sqrt[]{∆} = ∓ \sqrt[]{324}\\ = ∓ \sqrt[]{18}\)

Annonce du sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Aujourd'hui, nous allons étudier la propriété de la dérivée seconde : Sens de la Concavité et le point d’inflexion.  

Analyse

De quoi dépend le sens de la concavité de la courbe d’équation y = (fx) ?

Quand – t – est – ce la concavité de la courbe tourne vers les axes ox et oy ?

Qu’est-ce que le point d’inflexion ?

Que faut-il faire pour déterminer le point d’inflexion d’une courbe 

Dans quel intervalle tourne sa concavité vers les y positifs et vers les y négatifs ?

Déterminer son point d’inflexion

Analyse

PROPRIETE DE LA DERIVEE SECONDE SENS DE CONCAVITE ET POINT D’INFLEXION

A. SENS DE CONCAVITE

Le sens de la concavité de la courbe d’équation y = (fx)  est déterminé par le signe de y’’     

Si y’’>  0, la concavité tourne vers le sens positif de oy (vers le haut)

 Si y’’< 0, la concavité tourne vers le sens négatif de oy (vers le bas  de oy).

B. POINT D’INFLEXION

On appelle point d’inflexion, un point où la courbe traverse sa tangente.

Pour déterminer un point d’inflexion d’une courbe, on détermine les valeurs de x pour lesquelles y’’ est nulle ou n’existe pas.

On vérifie si pour ces valeurs, y est continue, y’ existe et y’’ change de signe

Exemple : Déterminer le point d’inflexion et le sens de la

                 concavité de la courbe ci-dessous

\(y = x3 – 6x^2 + 9x – 8\\ y’ = 3x^2 + 12x + 9\\ y’’ = 0 ↔ 6x – 12 = 0\\ ↔ x = \frac{12}{6} = 2\)

Si (f2) = 2³ – 6.2² +9.2 – 8 = - 6

         Le point d’inflexion est (2 ; 6)

De quoi dépend le point d’inflexion d’une fonction ?

Qu’est – ce que le point d’inflexion ?

Déterminer le sens de concavité et le point d’inflexion de la fonction

y = x³ – 3x² – 9x +1 

Le point d’inflexion dépend de la dérivée seconde

Est un point où la courbe traverse sa tangente