Méthode des génératrices

Rappel

Déterminez le lieu géométrique des points équidistants de deux points fixes

P₁ (x₁, y₁) et P₂ (x₂, y₂) ?

Rappel

Motivation

Quelles sont les différentes méthodes ?

Motivation

On utilise les méthodes de traducteur et d’élimination de paramètre.

Comment appelle-t-on la méthode qui consiste à éliminer me paramètre ?

La méthode qui consiste à éliminer les paramètres s’appelle la méthode de génératrice.

Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui ?

Annonce du sujet

Nous allons étudier la méthode de génératrice.

Comment s’obtient l’équation du lieu géométrique ? 

Soit f (x,y,?) = 0 ou celles de 2 courbes, l’équation du lieu est obtenu par élimination de paramètre entre  f (x,y,?) et y (x,y,?) = 0 qui forment un système d’équation.

\(\left\{ \begin{array}{rcr} f (x,y,?) & = & 0 (1) \\ f (x,y,?) & = & 0 (2)\\ \end{array} \right.\)

Comment appelle-t-on  f (x,y,?) = 0 et  y (x,y,?) = 0 ?

N.B : f (x,y,?)  = 0 et  y (x,y,?) = 0 sont les génératrices des lieux

Que faut-il faire si l’une des génératrices est du 1er degré ?

Remarques:

a. Quand l’une des génératrices est du 1er degré en k, on peut tirer une expression de k en fonction de  x et y que l’on reporte dans l’autre équation.

Que faut-il faire si les équations sont du 2ème degré en k ?

b. Quand les 2 équations sont de degré supérieur au 2ème degré en k, on utilise les conditions d’existence d’une racine commune à deux équations du 2ème degré.

Que faut-il  faire si les équations de génératrices sont de degré supérieur à 2 ?

c. Si les équations sont de degré supérieur 2,  il faut en général utiliser des artifices ou les théories d’algèbre supérieure. (cas qui nous concerne pas).

Que faut-il  faut si le paramètre est sous forme  trigonométrique ?

d. Quand le paramètre intervient sous forme trigonométrique, on cherche le plus souvent l’appliquer les formules de la trigonométrique circulaire.

\(sin^2 + cos^2 ∝ = 1, 1 + tan^2 ∝ = sin^2x\\ tan∝ = \frac{2 tan \frac{1}{2}}{(1-tan^2 \frac{1}{2}}\)

Que doit-on faire si les équations de génératrices peuvent se factoriser ?

Si l’une des équations peut se factoriser, on examine chaque partie séparément.

Comment peut-on déterminer l’équation de lieu géométrique par la méthode génératrice ?

L’équation du lieu est obtenue en éliminant le paramètre par la résolution du système  d’équation.

\(\left\{ \begin{array}{rcr} f (x,y) & = & 0 \\ f (x,y) & = & 0 \\ \end{array} \right.\)

Que faut-il faire si les 2 équations de génératrices  du 1er degré en k ?

Si l’une des équations du lieu est obtenue du 1er degré en k, on tire une expression k en fonction de x et y que l’on remporte  dans l’autre équation.

Que doit faire si les 2 équations de génératrice peuvent se factoriser ?

On examine chaque partie séparément.

Dire que peut-on faire si les génératrices contenant une expression trigonométrique ?