Notion de la dérivée 5ième année : Calcul des dérivées

Rappel

Calculez la dérivée de la fonction \(f:x→x^2+5x \\en\\ x=a\)

Rappel

\(f'(a) =lim_{x→a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=lim_{x→a} \frac{x^2+5x-a^2-5a}{x-a}\\ lim⁡_{x→a} \frac{x^2+5x-a^2-5a}{x-a}=lim⁡_{x→a} \frac{(x-a)(x-a)+5(x-a)}{x-a}\\ lim⁡_{x→a} x+a+5=lim⁡_{x→a} x+a+5=2a+5\)

si a=-4              fx=13

Motivation

Soit l’application f':I→R:x→f'x,

comment appelle-t-on f'x ?

Comment on note ?

Motivation

f':I→R:x→fx est appelée dérivée de la fonction f.

On note f'^(x) ou y'

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui, nous allons étudier la notion de dérivée : calcul des dérivées.

Analyse

Quelles sont les principales formules pour calculer les dérivées ?

Analyse

CALCUL DES DERIVEES

Dérivées des fonctions algébriques

Soient u=u(x)  ,v=et w= w(x)

Des fonctions dérivées et une constante C∈ R.

1. Y = c     y'=c'=0
2. Y = x    y'=x'=1
3. Y= u+v+w   y'=U'+v'+w'
4. Y = cu   y'=(cu')=cu'
5. Y = VV  y'=U'.V'+UV

\(6. Y = \frac{U}{V} \\ y'=(\frac{U}{C})'=\frac{U' V-UV'}{V^2} \)

\(7. Y = \frac{U}{C}.... y'=(\frac{U}{C})'=\frac{1}{C} U'\\ 8. Y = \frac{c}{u}...... y'=(\frac{C}{u})'=-C \frac{u'}{u^2}\\ 9. Y = U^m y=(U^m )'=m.u^{m-1}.U'\\ 10. Y = \sqrt[]{u}..... y'=(\sqrt[]{u})'= \frac{u'}{2\sqrt[]{u}} \)

Calculez la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

\(a. y=3x\\ b. y=xx5\\ c. y=\frac{2}{x}\\ d. y=1274\\ e. y=\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{3} x^3+2x\\ f. y=(2x+1) (x^2+4)^3\\ g. y=(2x+1)(x^2+4) \)

\(y'=(3x)'=3\\ y'=(x^5 )'=5x^4\\ y'=(\frac{2}{x})'=2(\frac{1}{x})'=-2(\frac{1}{x})'=\frac{-2}{x2}\\ y'=(\frac{2}{x})'=-2 \frac{2}{x2}\\ y'=(1274)'=0 \)

Calculez la dérivée des fonctions ci-dessous

\(y=\frac{x^2+3x-1}{x-1}\\ y=\sqrt[]{x^3+x^2}\)

\(y'\frac{x^2+3x-1)'(x^2+3x-1)(x-1)'}{(x-1)^2 }\\ \frac{(2x+3)(x-1) x^2-3x+1}{(x-1)^2}\\ =\frac{2x^2-2x+3x-3-x^2-x3+1}{(x-1)^2}\\ =\frac{2x^2-2x-2}{(x-1)^2 }\\ y'=(\sqrt[]{x^3+x^2 })'=\frac{(x^3+x^2 )'}{2\sqrt[]{x^3+x^2}}\\ =\frac{2x^2+2x}{2\sqrt[]{x^3+x^2}}=\frac{3(x^2+x}{2\sqrt[]{x^3+x^2}}\\ =\frac{3(x^2+2x)}{23(x^2+x)} \)