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Formules de multiplication par 2.
Matériel didactique : Tableau noir
Objectif opérationnel : A la fin de la leçon, l'élève sera capable de déterminer les formules à l'aide des formules d'addition d'arcs en 5 minutes.

a. Rappel

On donne sin (a+b)=\(\frac{21}{29}\)    et cos (a+b)<0, sin a=\(\frac{4}{5}\)     et cos a<0. Calculez sin b et cos b ?

a. Rappel

Cos2(a+b)+Sin2(a+b)=1.

Cos2(a+b)=1-sin2(a+b) et cos2a + sin2a=1

                 =1-\((\frac{21}{24})^2\)                   cos2a=1-sin2a

                 =1-\(\frac{441}{841}\)                             = 1-\(\frac{16}{25}\)

cos (a+b)=\(-\frac{20}{29}\)                         cos a= \(-\frac{3}{5}\)

Sin (a+b)= sin a.consb+sinb cosa

cos(a+b)=cosa.cosb-sina sinb

Sinb=\(\frac{17}{145}\)  et cosb =\(\frac{144}{145}\)

b. Motivation

b. Motivation

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier les formules de multiplication des arcs par 2.

Que faut-il faire pour établir des formules de duplication ?

FORMULES DE MULTIPLICATION DES ARCS PAR 2.

Des formules sont aussi appelées formules de duplication des arcs.

Pour établir les formules de duplication, il suffit de remplacer dans les formules d'addition.

Sin (a+b); cos (a+b), tg (a+b), cotg(a+b) par a.

Ainsi:

Sin 2a=sin (a+a)=sina.cosa+cosa.sina=2sina cosa.

Cos2a=cos (a+a)=cosa.cosa-sina.sina=cos2a-sin2a.

tg2a=tg(a+b)=\(\frac{tga+tga}{1-tga.tga}=\frac{2tga}{1-tg^2a}\)

cotg2a=cot(a+b)=\(\frac{cotga.cota-1}{cotga+cotga}=\frac{cotg^2a-1}{2cotga}\)

Alors cos2a-sin2a

par la formule fondamentale

cos2a+sin2a=1

cos2a=1-sin2a

cos2a=1-sin2a-sin2a

cos2a=1-2sin2a→sin2a=\(\frac{1-cos2a}{2}\)

cos2a=cos2a-(1-cos2a)

cos2a=2cos2a-1

cos2a+=2cos2a

cos2a=\(\frac{cos2a+1}{2}=\frac{1+cos2a}{2}\)

\(tg^2a=\frac{1-cos2a}{1+cos2a}\)

\(cot^2a=\frac{1+cos2a}{1-cos2a}\)

Que donne : a) cos2a

Cos2a=cos2a-sin2a

b) cos2a

cos2a=\(\frac{1+cos2a}{2}\)

c) Sin2a

Sin2a=\(\frac{1-cos2a}{2}\)

Que donnent les formules suivantes:

a. tg2a

Que donnent les formules suivantes:

tg2a=\(\frac{1-cos2a}{1+cos2a}\)

b. cotg2a

cotg2a=\(\frac{2tga}{1-tg^2a}\)