a. Rappel
En quel point de la tangente à la courbe d'équation y=x3-3x+1 est-elle perpendiculaire à l'axe du y?
a. Rappel
y'=3x2-3 si xo=1
0=3x02-3 yo=13-3.1+1=-1
xo2=1.
\(x_o=±\sqrt[]{1}=±1.\) Si xo=1=(-1)3-3(-1)+1=3.
b. Motivation
Soit f(x)=2x+3≥0 et g(x)=\(\sqrt[]{3}-2x≤0\)
Comparer ces fonctions ?
b. Motivation
La fonction f(x)=2x+3≥0 est croissante et g(x)= \(\sqrt[]{3}-2x≤0\)est décroissante.
c. Annonce du sujet
Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?
c. Annonce du sujet
Aujourd'hui nous allons étudier la propriété de la dérivée première : croissance et décroissante.
Comment peut-on déterminer la croissance et la décroissance d'une fonction ?
1. Croissance et décroissance
Pour déterminer si une fonction est croissante ou décroissante, on étudie les zéros et les signes de la dérivée de f'(x) ou y'.
* Si y' ≥0, la fonction est croissante
* Si y' ≤0, la fonction est décroissante
NB: Dans le tableau des signes de f' , on utilise la flèche montante ↗ pour une fonction croissante et la flèche descente ↘ pour une fonction décroissante.
Exemple: Déterminer les intervalles sur lesquelles la fonction suivante est croissante ou décroissante.
f(x)=x2-3x+2.
f'(x)=2x-3→f'(x)=0 →2x-3=0→x=3/2
\(f(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^2-3(\frac{3}{2})+2=-1/4\)
f est croissante dans [3/2, +Ꝏ[
f est décroissante dans ]-Ꝏ,\(\frac{3}{2}\) ]
Déterminer l'intervalle pour lequel la fonction est croissante et décroissante y=-(x-3)2(x+3).
y'=-[(x-3)2]'(x+3)+(x+3)'(x-3)2=-2(x-3).(x-3)+(x-3)2=(x-3)(-2x+3+x-3)=(x-3)(-x)=-3(x-3)(x+1).
y'=0 → x-3=0, x+1=0
x=3 x=-1
La fonction est croissante dans [-1, 3]
La fonction est décroissante dans ]- Ꝏ, -1] U [3, +Ꝏ.
Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est croissante ou décroissante.
a.
Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est croissante ou décroissante
a.
b. \(y=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+5\)
