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Représentation des nombres complexes (suite 2)

4.  Effectuer les opérations: le produit, le quotient, la puissance nième et la racine nième de nombre complexe non nul en utilisant la forme trigonométrie d'un nombre complexe. 

  1. Linéarisation.
  • On appelle linéarisation, la transformation d’un polynôme en cos x ou sin x en une somme de cosinus ou sinus de multiples de x.
  • Procédé :
  1. Partir des égalités : 

z=cos x + i sin x ou eix= i sin x  (1)

z=cos x - i sin x ou e-ix=cos x-i sin x  (2)

2. Additionner membre à membre les égalités pour obtenir :

3. Soustraire membre à membre (2) et (1) pour obtenir :

Ces formules sont dites d’Euler.

  • Elever à la puissance nième chaque membre de (1) et (2) en utilisant éventuellement la formule de Moivre pour obtenir :

De même, élever à la nième puissance chaque membre de (3) et (4) pour obtenir :

  • Additionner membre à membre les égalités (5) et (6) pour obtenir :

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  • Soustraire membre à membre les égalités (6) et (5) pour obtenir :

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  • Développer le second membre de (7) et (8) en utilisant le binôme de Newton.

Tenir compte des égalités (9) et (10).

Le résultant qu’on obtient exprime cosn x ou sin​​​​​​​n x comme une combinaison linéaire de cos kx ou sin kx avec 0<k<n.