Domaine de définition de la forme : f(x) = √(m&P(x))/√(n&Q(x))

a. Rappel

Déterminez le domaine de définition de la fonction défini par :

\(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x^3-3x^2-x+3}}{x^3+1}\)

a. Rappel

X³+1 = (x+1)(x²-x+1) ≠ 0

X= -1           x²-x-1 = 0         ∆ = -3

Df : ] -∞, -1[U]-1, +∞[

b. Motivation

Soit f(x) =\(\frac{\sqrt[5]{x+2}}{\sqrt[4]{x²+4}}\) combien d’indice y a-t-il ? et les quels ?

Il y a deux indices qui sont 5 et 4.

De quelle forme s’agit-elle ?

Il s’agit de la forme de domaine de définition de la forme :

f(x) = \(\frac{\sqrt[m]{P(x)}}{\sqrt[n]{Q(x)}}\)

c. Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier le domaine de définition de définition de la forme.  \(\frac{\sqrt[m]{P(x)}}{\sqrt[n]{Q(x)}}\)

Analyse

Comment peut-on déterminer le Df si on a deux indices ?

Analyse

Fonction irrationnelle de la forme f(x) = \(\frac{\sqrt[m]{P(x)}}{\sqrt[n]{Q(x)}}\)

* Si m et n sont pairs

Df = {x ЄIR, P(x)≥ 0 et Q(x)˃ 0}.

*Si m est pair et n est impair

Df= {x ЄIR, P(x)≥0  et Q(x) ≠ 0}

*Si m impair et n est pair : Df= {x ЄIR, Q(x)˃0}

*Si m et n sont impairs : Df= {x ЄIR, Q(x) ≠ 0 }

Exemples :déterminez le Df de chacune des fonctions suivantes :

a. y= \(\frac{\sqrt[]{x-1}}{\sqrt[]{x-6}}\)  

x-6 = 0

                            x= 6

posons P(x) = x-1

D₁= [1, +∞[

D₂= ]6, +∞[

D = [1,+∞[U]6,+∞[ = ] 6 , +∞[

b. y= \(\frac{\sqrt[]{x²-5x+6}}{\sqrt[5]{x-6}}\)

P(x) = x²-5x+6≥ 0

∆ = 25-24 = 1

\(\sqrt[]{∆}= ±\sqrt[]{1}\)

= ± 1

x- 6 ≠ 0      D₂= ]-∞,6[U]6,+∞[

D = D₁U D₂ = ]-∞,6[U]6,+∞[

Déterminez le domaine de définition des fonctions suivantes :

\(Y=\frac{\sqrt[5]{x²-3x-1,75}}{\sqrt[3]{x^3-8}}\)

X³-8 ≠ 0

X³-2³ ≠ 0

\(Y=\frac{\sqrt[9]{6-x}}{\sqrt[3]{x²-5x+6}}\)

Déterminez le domaine de définition de la fonction ci-dessous :

\(Y=\frac{\sqrt[3]{x²+4x+4}}{\sqrt[4]{x²-8x+7}} \)

Q(x) ˃0

X²-8x+7˃0

∆ = 64-4(1).7

= 64-28

   = 36

\(\sqrt[]{∆}=±\sqrt[]{36}\)

= ±6

Df : ]-∞, 1[U]7,+∞[