Distance en coordonnées polaires

a. Rappel

Trouvez la distance entre les points suivants :

A(-3,4)   et   (5,-1) ?

a. Rappel

\(d= \sqrt[]{((5+3)^2+(-1-4)²)} = \sqrt[]{(64+25)} = \sqrt[]{89} \)

b. Motivation

Quelles sont les coordonnées de points M en axes polaires ?

b. Motivation

X₁= ꝭ₁cosω₁          et       y= ꝭ₂cosω₁

X₂= ꝭ₂cosω₂        et       y =ꝭ₂cosω₂

De quoi s’agit-il si on veut calculer l’écart à ces deux points ?

Il s’agit de la distance de deux points en coordonnées polaires.

c. Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier la distance de deux points en coordonnées polaires.

Distance de deux points en coordonnées polaires

Soient deux points A(ꝭ₁, ω₁)  et  B(ꝭ₂, ω₂). En coordonnées cartésiennes on a :

A ( x₁, y₁)   avec x₁= ꝭ₁cosω₁    et y₁= ꝭ₁sinω₁

B ( x₂, y₂)   avec  x₂ = ꝭ₂cos ω₂   et  y₂= ꝭ₂ sinω₂

_{\(Si θ=\frac{π}{2} , on : d = \sqrt[]{((x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1)²)}\)}

_{\(d = ꝭ = \sqrt[]{((ꝭ_2 cosω_2-ꝭ_1 cosω_1 )^2+(ꝭ_2 sinω_2-ꝭ_1 sinω_1)²)}\)}

_{\(d= \sqrt[]{(ꝭ_2^2 cos²ω_2-2ꝭ_2 ꝭ_1 cosω_2 cosω_1+ꝭ_1^2 cos^2 ω_1+ꝭ_2 sin^(2ω_2 )-)(2ꝭ_1 ꝭ_2 sinω_2 sinω_1+ꝭ_1^2 sin²ω_1)} ̅ \)}

\(d = ꝭ = \sqrt[]{(ꝭ_1^2 (cos^2 ω_1+sin^2 ω_1 )+ꝭ_2^2 (cos^(2ω_2 )+ꝭ_2 sin^2 ω_2 )-)(-2ꝭ_1 ꝭ_2 cosω_2 cosω_1+sinω_2 sinω_1 ) ̅} \)

\(d= \sqrt[]{(ꝭ_1^2+ꝭ_2^2-2ꝭ_1 ꝭ_2 cos⁡(ω_2-ω_1))}\)

Exemple :

Calculer la distance de :

1. A (10, 0°) et M (2, 90°)
2. K(2, 30°)   et  B (1, 90°)

\(d= \sqrt[]{(10²+2²-2.10.2cos⁡((90)^0-0)°)}\)

\(= \sqrt[]{(104-40cos20°)}\)

\(= \sqrt[]{104}\)

Deux points du sommet opposés d’un arrêt sont A (2, 60°) et        O (5,30°).

Quelle est l’aire de sa surface ?

A (2, 60°)     \(d = \sqrt[]{(2²+5²-2.5cos⁡(60°+30°))}\)

B (5,-30°)        \(d = \sqrt[]{(4+25)}\)

\(d = \sqrt[]{29}\)

\(\frac{d}{2}=\sqrt[]{\frac{29}{2}}\)

Quelle est la deuxième coordonnée du point  m (ꝭ= 1) situé à la distance \(\sqrt[]{7}\)  du point p(3,30°). ?

M (1, ω )        \(d = \sqrt[]{(1²+3²-2.1.3cos⁡(30°-ω))}\)

P ( 3, 30°)              \((\sqrt[]{7})²= 4-6cos(30°-ω)\)

7-4  =  -6cos (30°-ω)

                       3   =  -6 cos (30°-ω)

                   3/-6 = cos (30°-ω)

                    1/2  = - cos (30°-ω)

                     1/2 = cos-(30°-ω)

       -30°+ ω = 1/2

       -30°+ω = 60°

       ω = 60°+30°

       ω = 90°

Quelle est la distance des points    M(0 , 60)° et   s (6, 102°) ?

\(d = \sqrt[]{(0²+6²-2.0.6cos⁡(120°-60°))}\)

\(=\sqrt[]{36}\)

d = 6