Equation logarithmique

Rappel

Calculez : \(\frac{log⁡5-4 log⁡3+3 log⁡3+log⁡2}{log⁡4-log⁡2}\)

Rappel

\(\frac{log⁡5-4 log⁡3+3 log⁡3+log⁡2}{log⁡4-log⁡2}\)

Motivation

Quel est l’exposant de ce logarithme ?

\(log_2⁡ (x+1) ?\)

Motivation

L’exposant de ce logarithme est x+1.

Que représente x+1 en algèbre ?

X+1 représente l’équation.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les équations logarithmiques ?

Qu’est-ce qu’une équation logarithmique ?

Equation logarithmiques

a. Définition

Une équation logarithmique est toute équation où l’inconnue intervient dans l’expression du logarithme.

Comment faut-il faire pour résoudre une équation logarithmique ?

b. Résolution

Pour résoudre une équation logarithmique, on procède comme suit :

- Poser les conditions d’existence des solutions de l’équation.

- Ramener éventuellement les logarithmes à la même base.

- Utiliser les propriétés des logarithmes pour obtenir

- Retenir les valeurs de l’inconnue qui vérifie les conditions posées ci-dessous.

Exemples : résoudre dans IR, l’équation suivante :

log₃(x+1) = log₃2

Condition : x+1 ˃ 0

                     X ˃ -1

] – 1, +∞ [

\(log_3⁡ (x+1)=log_3⁡ 2\)

X+1 = 2

X = 2-1

X = 1

S= { 1}

Résoudre dans IR, les équations ci-dessous :

\(a. log_2⁡ (x+14)+ log_2⁡ (x+2) = 6\)

\(b. log ⁡x+3 log⁡ x=log ⁡10^4\)

\(c. log_2⁡ (x-2) +log_2⁡ (x-1) =log_2⁡ (2x+8)\)

Condition : x+14 ˃ 0

                     x˃ -14

] -14, +∞ [

] -2, +∞ [

\(log_2⁡ (x+14)(x+2)=6 log_2 ⁡2\)

\(X²+2x+14x+28 = 64\)

\(X²+16x+28-64 = 0\)

\(=16²-4(1)(-36)\)

\(= 256+144\)

= 400

\(\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{400}\)

= ±20

S = {2}    seul le réel 2 vérifie la condition posée.

Résoudre dans IR, l’équation suivante :

\(log_3⁡x= 1/2 + log_9 ⁡(4x+15)\)

X ˃ 0                           et      4x+15 ˃ 0

                                               X ˃ -15/4

]0, +∞[

] -15/4, +∞[

\(log_3 ⁡x = ½ log_3⁡ 3+log_3 2 (4x+5)\)