Exercices sur les systèmes d’équations

Rappel

Que faut-il faire pour résoudre un système d’équation où l’une est du premier degré et l’autre du second degré ?

Rappel

On tire l’une des inconnues dans l’équation du premier degré et on l’introduit dans l’équation du second degré.

Que faut-il faire pour résoudre un système d’équation où les deux équations sont du second degré ?

On élimine une des inconnues en utilisant la méthode d’addition.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons résoudre les exercices sur les systèmes d’équations du second degré.

Résoudre dans IR², les systèmes d’équations suivants :

\(\left\{ \begin{array}{rcr} Y & = & x^2-4x+4 \\ X & = & 3y \\ \end{array} \right.\)

Exercices sur les systèmes d’équation du second degré

\(Y= (3y)²-4(3y)+4\\ Y= 3y²-12y+4\\ Y= 0 <=> 9y²-12y+4\\ ∆ = (12)²-4(2).(4)\\ =144-144\\ =0\)

X₁= 3.2/3 = 2

X₂ = 3.1/3 = 2

                            S = {2, 2/3}

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x^2-y^2 & = & 161 \\ x-y & = & 7 \\ \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x^2-y^2 & = & 16 \\ x & = & 7+y \\ \end{array} \right.\) →   (7+y)²-y² = 161

         49+14y+y²-y²=161

         14y= 161-49

         \(Y = \frac{112}{11} = 8\)

X = 7+8 = 15          S = {(15,8)}

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x^2-y^2 & = & -45 \\ 3x^2-y^2 & = & 27 \\ \end{array} \right.\)

\(-x²+y² = 45\\ 3x²-y² = 27\\ 2x²= 72\\ X² = 72/2\\ X²= 36\\ X =±\sqrt[]{36}\\ X= ±6\)               \(3x²-3y²=-135\\ -3x²+y²=-27\\ -2y²= -162\\ y² =-162/-2\\ y²= 81\\ y = ±\sqrt[]{81}\\ y = ±9 \)

S = {(6,9),(6,-9),(-6,9),(-6,-9)}                           

Résoudre dans IR², les équations suivantes :

\(\left\{ \begin{array}{rcr} y & = & x^2-x-1 \\ y & = & 2x+3 \\ \end{array} \right.\)

a. 2x+3 = x²-x-1

2x+3-x²+x+1=0

-x²+3x+4=0

∆=9-4(-1).(4)

   = 25

\(\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{25}\)

Si x = -1                                  si x= 4

Y= 2.1 (-1) +3                           y =2.4+3

Y=1                                             y= 11

                   S = {(-1,1),(4,11)}

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x-3y & = & 1 \\ x^2-2xy+9y^2 & = & 17 \\ \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x & = & 1+3y \\ (1+3y)^2-2y(1+3y)+9y^2 & = & 17 \\ \end{array} \right.\)

1+6y+9y²-2y-6y²+9y²= 17

18y²-6y²+4y-17+1 = 0

18y²+4y-16 = 0

3y²+y-4 = 0

∆ = (1)²-4(3).(-4)

= 1+48

\(\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{49} = ±7\)

Résoudre dans IR², les systèmes d’équations suivantes :

\(\left\{ \begin{array}{rcr} x^2+2y^2 & = & 43 \\ x^2-y^2 & = & 16 \\ \end{array} \right.\)

\(-x²-2y² =-43\\ X²-y²= 16\\ -3y² = -27\\ X² = 27/3\\ X² =9\\ X = ±3\)                 \(x²+2y² = 43\\ 2x²-2y² = 32\\ 3x² = 75\\ x² = 75/3\\ x² = 25\\ x = ± 5\)

S = {(3,5),(3,-5) ;(-3,5),(-3,-5)}